Доповідь на тему: Вектори у просторі. Дії над векторами Щоб охарактеризувати рух тіла в даний момент не досить сказати, що воно рухається зі швидкістю 60 км/год., треба ще вказати напрям його руху, тобто напрям швидкості. У зв’язку з цим зазначені фізичні величини зручно зображати напрямленими відрізками. Такий спосіб зображення фізичних величин, крім наочності, має й інші переваги. Наведемо приклад. Напрямлений відрізок називається вектором. Напрям вектора задають вказівкою н його початок і кінець. На малюнку напрям вектора показують стрілкою. Позначити вектор можна малою буквою або великими латинськими буквами. Називаючи його початок і кінець. При цьому початок вектора ставиться на першому місці. Замість слова “вектор” над буквенним позначенням вектора іноді ставлять стрілу або рису. Якщо пів прямі а і b однаково напрямлені й півпрямі a і b однаково напрямлені, то півпрямі а і b також однаково напрямлені. Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Це означає що існує паралельне перенесення яке переводить початок і кінець одного вектора відповідно в початок і кінець другого вектора. Звідси випливає, що рівні вектори однаково напрямлені й рівні за абсолютною величиною, то вони рівні. З теореми (10.1) випливає, що від будь-якої точки можна відкласти вектор, який дорівнює даному вектору, і тільки один. Теорема (10.3). Рівні вектори мають рівні відповідні координати. І навпаки, якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні. Для будь-яких векторів


Теорема 10.4. Які б не були точки А, В, С, справджується векторна рівність.
від кінця вектора
відкласти вектор
, що дорівнює вектору
. Тоді вектор, початок якого збігається з початком вектора
, а кінець – з кінцем вектора
, буде сумою векторів
і
(мал. 171, а). Такий спосіб знаходження суми двох векторів називається “правилом трикутника” додавання векторів. Для векторів із спільним початком їх сума зображається діагоналлю паралелограма, побудованого на цих вектора (“Правило паралелограма”, мал. 171 б). Справді,
, а ВС = АД. Отже
. а) в) Мал. 171 Множення вектора на число Добутком вектора
Зазначення операції множення вектора на число випливає, що для будь-якого вектора
і чисел π і φ (π+φ)
=π
+ φ
, Для будь-яких дох векторів
і
і числа π π (
+
) = π
+ π
. Теорема 10.5. Абсолютна величина вектора π дорівнює
. Напрям вектора
, якщо π>0, і протилежний напряму вектора
, якщо π<0. Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком векторів
(а1; а2)
(в1; в2) називається число а1в1+а2в2. Теорема 10.7. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними. З теореми 10.7 випливає, що коли вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо скалярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.